Aplicación de Modelos de Optimización de Portafolios para el período 2015-2020 con metodología de Markowitz.

Alejandro Crossa

La reforma del Sistema Previsional del año 1995 en Uruguay estipuló un esquema jubilatorio de carácter mixto, donde coexisten el reparto solidario y el ahorro individual obligatorio. A grandes rasgos, la administración de los fondos ocurre, por un lado, a través de la gestión del Banco de Previsión Social (BPS), y por otro, por parte de las Administradoras de Fondos de Ahorro Previsional (AFAP).

Considerando que la seguridad social abarca un enorme conjunto de cuestiones mucho más complejas y de diversa índole, en el presente trabajo se busca ahondar únicamente en una arista como son los portafolios de inversiones y la gestión de los fondos de las AFAP. A pesar de la regulación y reformas que el sistema sufrió desde sus inicios, han sido escasos los desarrollos académicos orientados a evaluar la eficiencia con la que se administran las cuentas de ahorro previsional y en particular la pertinencia de la regulación actual. Se procura profundizar en la administración de las cuentas de ahorro individual obligatorio en Uruguay, gestionadas por las AFAP.[1]

Para evaluar la eficiencia y desempeño que las AFAP presentan, se busca realizar una aplicación práctica de modelos teóricos de optimización de portafolios. Se procura aportar información cuantitativa que sea de utilidad para la discusión acerca de ciertos cambios regulatorios que apunten, no solo a diseñar un mejor funcionamiento financiero, sino a una modernización general del sistema, más acorde a las necesidades actuales.

La metodología consiste en considerar un portafolio de referencia (similar al de las AFAP), de acuerdo con la información disponible de mercado, para analizar si algún cambio en la composición mejora los rendimientos sin afectar en gran medida el riesgo.

Los objetivos son, en primer lugar, revisar y analizar la performance de los portafolios de las AFAP en base a la aplicación práctica de los modelos de Markowitz (en esta primer entrega) y de Black-Litterman en el marco de las leyes que rodean al pilar de capitalización individual de seguridad social (en la segunda parte). A su vez, se busca analizar la conveniencia de flexibilizar la ley mediante la inclusión de activos de renta variable internacional. La pregunta que surge es ¿Resulta conveniente ampliar la cantidad de literales de la ley al permitir invertir en otra clase de activos o eliminar ciertos topes? ¿Qué consecuencias puede tener?

Según datos de Datos de la Memoria trimestral del BCU a diciembre de 2020 la cantidad de afiliados de las AFAP ascendió a 1.468.580 con 1.295.274 personas comprendidas en el subfondo de Acumulación (88.2%) y 173.306 (11.8%) al subfondo de Retiro. La participación de afiliados es liderada por República AFAP (39,4%), seguida por AFAP Sura (22,7%), Unión Capital (21,7%) y luego Integración (16,2%). El valor de los fondos administrados por República AFAP son mayores al resto de las AFAP en su conjunto, ya que ascienden al 55,5% del total de las AFAP. El resto de los fondos se reparten en 18,1% AFAP Sura, 16,6% Unión Capital y 9,7% Integración.

 

El enfoque de Markowitz: Modelo clásico de Selección de Carteras

En 1952 Markowitz publicó su trabajo titulado “Portfolio Selection” en The Journal of Finance, que constituyó un pilar fundamental para la teoría del portafolio. Posteriormente, aportes de James Tobin, Eugene Fama, John Lintner, William F. Sharpe, entre otros, enriquecieron aún más la teoría del portafolio y del modelo CAPM en general (Gimeno y Carabias, 2014).

En este modelo se plantea un método de decisión racional para la selección de portafolios de un inversor. Se basa en un supuesto esencial que consiste en que los agentes son maximizadores del retorno y aversos al riesgo. Sus ideas han perdurado en el tiempo con cierta vigencia en la actualidad. La formulación original de Markowitz establece un trade off entre la tasa de retorno esperada y la varianza del retorno de un portafolio. La idea principal de Markowitz es que un portafolio eficiente es aquel que tiene un mínimo riesgo, para un retorno dado, o, lo que es equivalente, un retorno máximo para un nivel de riesgo determinado.

El conjunto de portafolios eficientes se encuentra a través del modelo, que busca minimizar la varianza del portafolio, mediante un problema de optimización. La solución matemática al problema puede ser encontrada mediante un modelo de programación cuadrática. Una vez resuelto el mismo, se encuentran las ponderaciones de cada activo en la cartera que satisfacen las restricciones planteadas, es decir, el conjunto de pares retorno y riesgo.

En el plano media-varianza del gráfico 1 se puede visualizar el pool de portafolios eficientes situados en la frontera conformada entre los puntos A y B del gráfico. Ubicarse debajo de la frontera (e.g., en el punto C) implicaría tener un portafolio ineficiente, dado que, para el mismo nivel de riesgo, se puede encontrar un rendimiento mayor (punto D). Alternativamente, ubicarse en el punto E, daría un mismo rendimiento que el punto C, pero a un menor nivel de riesgo.

Gráfico 1: Pool de portafolios eficientes

Fuente: Mora (2004)

 

Debido a la gran diversidad de activos y a la pequeña cantidad de observaciones para algunos de ellos, vale la pena realizar una clusterización de ciertos activos para poder estimar la media y la desviación típica muestral de forma estadísticamente confiable. Ambas estimaciones son necesarias en la aplicación del modelo desarrollado por Harry Markowitz.

Se procedió a clusterizar de la forma más conveniente: por “familias” de activo y monedas y en algunos casos también por plazos de vencimientos, obteniéndose trece categorías. Para cada “familia” de activos se le estima media y desviación típica promedio de los retornos, lo que da lugar a una matriz de retornos de 71 observaciones por cada familia, un vector de retornos promedio y un vector de desviación promedio. Luego se calcula la matriz de varianzas y covarianzas de los retornos, por lo que ya se cuenta con todos los datos necesarios para la resolución del modelo de media-varianza. La optimización está condicionada a las restricciones que el marco regulatorio impone para las AFAP, de manera simplificada:

• <35% del portafolio en moneda extranjera.
• <75% del portafolio invertido en el literal A.
• <50% del portafolio invertido en el literal B.
• <15% del portafolio invertido en el literal D.

Adicionalmente, se considera la condición de no negatividad en las ponderaciones del portafolio, es decir que no existe posibilidad de short sales y se eliminó la posibilidad de contar con disponibilidades transitorias, lo que significa que necesariamente la suma de las ponderaciones de los activos en el portafolio debe ser 100%. Se entiende que la disponibilidad transitoria no constituye una estrategia de inversión de largo plazo per se, sino un desfasaje de liquidez que pretende ser rápidamente colocado en otros instrumentos.

De manera general, se parte de un portafolio “Base”, cuya modelización está calibrada acorde a la composición de la cartera, retornos y volatilidad mediante la metodología de Markowitz. A este portafolio se le denomina “Caso 0”^[2], el cual pretende emular el portafolio del Subfondo de Acumulación consolidado de las AFAP al cierre de 2020, que se obtiene al aplicar las restricciones actuales de la ley.

Asimismo, tanto en la aplicación del modelo clásico (Markowitz) como el moderno (Black-Litterman), se ejecutan tres portafolios por cada caso: siguiendo los criterios de mínima varianza (Mín. Varianza), el de máximo rendimiento (Máx. Rendimiento) y un intermedio que es la maximización del ratio de Sharpe (Sharpe). Todos estos portafolios se encuentran sujetos a los límites y restricciones de la ley.

Dado que las observaciones están expresadas en UI, se incluye el nodo a 5 años anualizado de la curva CUI que construye BEVSA diariamente, como proxy de un rendimiento “libre de riesgo” a nivel local. Dicho rendimiento es el mínimo rendimiento requerido que los ahorristas en AFAP estarían dispuestos a obtener. En otras palabras, sirve como retorno de referencia mínimo sobre el cual comparar el resto de las medidas de rendimiento de cada portafolio. La curva CUI se define como “Curva Spot de Rendimientos de Títulos Soberanos Uruguayos emitidos en moneda nacional indexada a la inflación: Unidades Indexadas, UI, para las emisiones locales y pesos uruguayos ajustados por inflación, para las emisiones globales.”

De esta forma, para cada caso analizado los resultados cuentan con cuatro portafolios referenciales que constituyen lo que conformaría la frontera de eficiencia (Curva CUI Nodo 5 años, Mínima Varianza, Sharpe y Máximo Rendimiento).

La ubicación de las diversas fronteras de eficiencia también será de utilidad para la comparación entre los casos. Las ilustraciones y principales comparaciones se realizan siempre utilizando el portafolio que se obtiene mediante la maximización del ratio de Sharpe.

La base de datos original extraída de BEVSA cuenta con 130 títulos diferentes, a la que se le agregan posteriormente datos relevantes de la curva ITLUP, así como también índices de bonos internacionales e índices representativos de mercados internacionales (benchmark), cuya información fue proporcionada mediante la plataforma Bloomberg.

Por último, dado que el riesgo que genera desviarse considerablemente del promedio del sistema es mayor a su potencial beneficio, no sería racional una conducta extremista por parte de una administradora. No es esperable desde el punto de vista de la economía comportamental que una AFAP realice un cambio radical de su portafolio de un período a otro, sino por el contrario, serían ajustes suavizados y progresivos en el portafolio de forma de no incurrir en un alto riesgo de diferenciación. Por este motivo, se consideró oportuno establecer un límite máximo del 10% de variación para las categorías de instrumentos existentes en las optimizaciones.

Resultados Caso 0 - Portafolio Base

El Portafolio Base intenta replicar el portafolio consolidado del subfondo de Acumulación de las AFAP a fin del 2020, mediante la aplicación del modelo de Markowitz.

Para aplicar dicho modelo, primero se estimaron los parámetros de rendimiento y desviación estándar para cada instrumento. Se utilizaron valores mensuales en UI para cada instrumento con las que posteriormente fue calculada la matriz de varianzas y covarianzas.

Los resultados se presentan en la Tabla 2 y en las posteriores ilustraciones.

Tabla 2: Resultados Caso 0 - Portafolio Base - Markowitz
Portafolio	Retorno Anual	Desviación Anual
CUI	3,76%	0,32%
MIN VARIANZA	4,61%	1,35%
SHARPE	4,69%	1,36%
MAX RETORNO	5,75%	2,33%

Gráfico 2. Composición por instrumento: Consolidado AFAP vs Caso 0

Fuente: Elaboración propia

 

Gráfico 3: Portafolios eficientes

Fuente: Elaboración propia

Dados los instrumentos que fueron excluidos de la base, se trata de un portafolio similar al que las AFAP en su conjunto contaban en el subfondo de Acumulación a fecha 31/12/2020. Comparativamente, los resultados en términos de composición y rentabilidad medida en UI son similares, lo cual brinda una idea de buena aproximación a los portafolios de las AFAP. A partir de éste se realizarán las pruebas de estática comparativa en las siguientes entregas.

Si se observan las rentabilidades anuales en UI de los Subfondos de Acumulación al 31/12/2020, se denota como el Portafolio Base del Caso 0 obtiene un valor similar al promedio del sistema.

Gráfico 4: Rentabilidad Anual Bruta en UI al 31/12/2020

Fuente: Elaboración propia

Se analizaron otros escenarios, como el caso de quitar alguna restricción como ampliar el margen de variación del portafolio por encima del 10% sobre el portafolio de mercado donde se llegan a portafolios de hasta el 7.87% de retorno anual en UI. Otro caso fue ampliar el máximo del literal D en 15%, donde se llega rápidamente a un portafolio con mejor retorno y menor riesgo. No obstante, los portafolios sin restricciones alcanzan soluciones con participaciones sumamente concentradas, donde se observan “soluciones de esquina” con un movimiento sustancial de la frontera de eficiencia. Por este motivo, es que los portafolios de mínima varianza y Sharpe no varían tanto su performance, ya que están demasiado sujetos a sus restricciones y el posicionamiento se da en los límites.

Una explicación posible que está en línea con las preguntas iniciales es que el posicionamiento en los máximos esté explicando una necesidad de invertir cantidades aún mayores en determinados instrumentos, y que se posicionan todo lo posible dentro del marco legal. Lo que sucede es que de este modo el mercado local queda concentrado en pocos actores (Noguez, 2009), teniendo estos una capacidad grande de interferir en la libre formación de precios, lo cual constituye un riesgo para la sostenibilidad del sistema financiero local. Esta primera observación puede estar reflejando:

a) La necesidad de un posicionamiento mayor en activos de moneda extranjera sea nacionales o internacionales (Rivero y Valdés, 2003).

b) La inversión en otro tipo de instrumentos sea nacionales o internacionales.

En síntesis, la idea central del trabajo es aplicar los modelos de optimización teóricos de Markowitz y Black-Litterman en el período 2015-2020, con el fin de analizar la performance de las AFAP y estudiar posibles cambios en el esquema de regulación de las inversiones en el sistema de pensiones. Estas modificaciones se pueden traducir en potenciales beneficios para los afiliados, las AFAP, y el sistema previsional en general, en vísperas de una nueva reforma de la Seguridad Social en Uruguay.

Al asumir las limitaciones establecidas en el análisis la hipótesis inicial del trabajo se refiere a la existencia de cierto margen para una mejor allocation de los activos invertidos dentro del sistema previsional bajo la legislación actual.

A la luz de los resultados, es necesario resaltar que, en la aplicación del Modelo Base mediante Markowitz, se observan indicios de una posible mejoría del portafolio global con la actual regulación tan solo incrementando la posibilidad de variar en más de un 10% por categoría de instrumento con respecto al portafolio de mercado. Esta situación implica un posicionamiento en los límites del marco legal que da la pauta de expandir los instrumentos hacia otro tipo de activos sean nacionales como internacionales. Al respecto es posible concluir que los beneficios son mayores a los riesgos por lo que una redistribución de los activos efectivamente puede mejorar la performance de los portafolios de las AFAP.

^[1] Esta entrega es una parte del análisis más profundo y detallado que se realiza en la tesis de Alejandro Crossa.

^[2] A partir del Caso 0 se realizarán ejercicios de estática comparativa que serán vistos en la segunda entrega en los cuales se utiliza la metodología de B&L. En síntesis, se intentan levantar ciertas restricciones regulatorias del Subfondo de Acumulación que permitan no sólo evaluar otras combinaciones en el mapa riesgo-rendimiento sino también analizar la existencia de estrategias dominantes. Posteriormente, se presentan comparaciones entre los casos al utilizar distintas herramientas cuantitativas de evaluación de desempeño.